ยุทธศักดิ์ ศศิประภา เกิดเมื่อวันที่ 8 มกราคม พ.ศ. 2480 ที่กรุงเทพมหานคร เป็นบุตรของพลโทอรรถ และนางจำรูญ ศศิประภา เป็นพี่ชายของพลเอก อัครเดช ศศิประภา อดีตรองผู้บัญชาการทหารสูงสุดและประธานกรรมการบริษัท นวนคร จำกัด (มหาชน) (ถึงแก่อนิจกรรมแล้ว) ด้านชีวิตครอบครัวได้สมรสกับคุณหญิงอรพรรณ ศศิประภา ธิดาของจอมพลประภาส จารุเสถียร กับท่านผู้หญิงไสว จารุเสถียร มีบุตรธิดา 4 คน คือ พ.ต.ดร.ปรภฎ ศศิประภา นางสาวอภิษฎา ศศิประภา นางสาววลัยพรรณ ศศิประภา และนางสาวจันทิมา ศศิประภา

ยุทธศักดิ์ ศศิประภา เข้ารับการศึกษาชั้นมัธยมศึกษาที่โรงเรียนเซนต์คาเบรียล สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนนายร้อยพระจุลจอมเกล้ารุ่นที่ 8 (จปร.8-ร่วมรุ่นเดียวกับ พล.อ.กิตติ รัตนฉายา) ในปี พ.ศ. 2504 เข้ารับการศึกษาในโรงเรียนเสนาธิการทหารบก รุ่นที่ 48 หลักสูตรวิทยาลัยป้องกันราชอาณาจักร รุ่นที่ 33 นอกจากนั้นยังผ่านการอบรมหลักสูตรพลร่ม และพลจู่โจม จากศูนย์การทหารราบ กองทัพบก สหรัฐอเมริกาอีกด้วย